贝叶斯定理的核心观点是：新证据不能单独说明概率，而是在原有证据的基础上更新概率。但贝叶斯定理的公式缺乏直观性，而贝叶斯因子（灵敏度/假阳性）可以直观说明新证据的效力。例如一项灵敏度90%，假阳性9%的医学检测，其贝叶斯因子为10。但如果人群发病率仅1%（赔率1:99），一次检测为阳性也只能将确诊概率提升至略低于10%（赔率10:99）；如果寻求独立第二意见再次显示阳性，确诊概率就会提升至约50%（赔率100:99）。

包含具体数字的例子能大幅降低陷入统计谬误的风险

例子1

(Daniel Kahneman, Amos Tversky) “Steve非常害羞而孤僻，乐于助人，但对与人和现实世界打交道兴趣不大。他温顺而整洁，热爱秩序和结构，热衷细节”。Steve是图书管理员还是农民？

当看到以上描述（证据E）时，大多数人会（基于刻板印象）认为：“Steve是图书管理员”（假设H）的几率更大。但这一想法没有考虑两者在整体人口中的巨大数量差异。例如，假设农民的人口是图书管理员的20倍，即使认为图书管理员符合描述的几率是农民的4倍，在总人群（210）中符合描述的人里，也只有4名图书管理员，而有20名农民。换言之，符合描述的Steve，是图书管理员的几率只有约17%。

以上描述并不能单独决定Steve是图书管理员的概率，只是在总人群中更新了Steve是图书管理员的概率：从总人群的$10/(10+200) \approx 0.048$更新为了$4/(4+20) \approx 16.667$。

（数学部分开始）

贝叶斯定理的公式如下：

$$ P(H|E)=\cfrac{P(H)\cdot P(E|H)}{P(E)} =\cfrac{P(H)\cdot P(E|H)}{P(H)\cdot P(E|H) + P(¬H)\cdot P(E|¬H)} $$

• $P(H|E)$：“H的后验/条件概率 Posterior/conditional probability"，即：有鉴于新证据（在例子1中，对Steve的文字描述），更新后的Steve是图书管理员的概率（4/24）
• $P(H)$：“H的先验/边缘概率 Prior/marginal probability"，即：总人群中，Steve是图书管理员的概率（10/210）
• $P(E|H)$：“特定H下，E的似然性 Likelihood"，即：刻板印象里，图书管理员符合描述的几率（4/10）
• $P(E)$：“E的先验/边缘概率 Total probability"，即：总人群中，Steve符合描述的概率（24/210）：
  • Steve是图书管理员（假设属实），并且符合描述的概率（4/210，等于$P(H)\cdot P(E|H)$），加上
  • Steve是农民（假设错误），但也符合描述的概率（20/210，等于$P(¬H)\cdot P(E|¬H)$）

（数学部分结束）

然而，较之抽象化的公式，使用具体数字为例，更加直观，更容易理解，最重要的是：用具体数字举例可以极大幅度地降低普通人落入统计谬误的风险。如果在提出问题时给出具体数字为例，大多数人都不会落入陷阱。例如下面的例子2：

例子2：

(Gerd Gigerenzer) 1位50岁无症状女性在例行检查中被发现疑似乳腺癌。假设：

1. 她所在人群乳腺癌发病率（prevalence）是1%，
2. 检查的灵敏度（sensitivity）是90%（即：1,000个受检患者中，能够查出900名，有100名为假阴性false negative），
3. 检查的特异性（specificity）是91%（即：1,000个受检健康人中，能够确认910名健康人，有90名被误认为乳腺癌（假阳性false positive）。

在没有其它信息的前提下，该女性患有乳腺癌的概率是多少？

在一次研讨会上，这个例子的作者向一群妇科医生用单选题的方式提出了这个问题（并未包括括号中的数字举例）。超过一半的医生表示，概率接近90%。而这是完全错误的，正确的概率应当更接近10%。换言之，在做完这一检查后，该女性患病的几率只有大约10%。

正如例子1所述，检查并不单独说明发病率。检查的目的是在人群发病率的基础上，更新受检人群的发病率。在这个例子中，该检查将这位女性的发病率从人群发病率1%，提升到了大约$90/(90+891) \approx 0.092$，增加了接近10倍。

事实上，人群发病率越低，假阳性在所有检测阳性的人群中占比就会越高。如果人群发病率只有万分之一，同样的检测结束后，患者的患病几率仍然只有大约千分之一，有99.9%的几率是假阳性！

如果提供具体数字举例，人们会更容易意识到，由于健康人居多，即使一个灵敏度和特异性都达到90%或以上的检测报告阳性，仍有很大的假阳性可能，从而避免落入统计谬误。

如何让贝叶斯定理更直观：贝叶斯因子（Bayes factor）

尽管贝叶斯定理的核心是“概率的更新”，但无论是贝叶斯公式的各个因子，还是例子2中的灵敏度、特异性等常见参数，都无法直观地体现出这个“更新倍数”。如此前一再提及的，越是直观，就越能帮助避免落入统计谬误。

贝叶斯因子是新证据“更新概率”能力的直观表现。就例子2而言，贝叶斯因子指：考虑到检测结果是阳性（新证据），这位女性是病人的概率较之不是病人概率的倍数。 即：

$$ Bayes factor = \cfrac{P(阳性|病人)}{P(阳性|健康人)}=\cfrac{P(灵敏度)}{P(假阳性)}=\cfrac{0.9}{0.09}=10 $$

在先验概率（例子2中指人群发病率1%）远小于1的前提下，贝叶斯因子可以用于估计：检测能将先验概率提升多少倍。在例子2中，原先1%的先验概率乘以贝叶斯因子后得到10%，略高于真实值9.2%。它的优势是：灵敏度和假阳性（即1-特异性）数值都是非常常见的评价检测能力的参数，因此可以提供粗略的估算，对于避免落入统计谬误尤为有用。

然而，如果先验概率相对较大，后验概率会被显著地高估（例如：如果人群发病率是50%而检测不变，检测后的患病概率显然不可能是50% * 10 = 500%）。这一误差的本质原因是，贝叶斯因子更新的并不是概率probability，而是赔率odds。

如何使用贝叶斯因子计算后验概率

如果用赔率重新计算例子2检测后病人的患病概率，只需要3步：

1. 用赔率写出先验概率（人群患病率）：$O(prior) = 1:99$
2. 计算贝叶斯因子：$P(灵敏度)/P(假阳性) = 10$
3. 计算用赔率表示的后验概率：$O(posterior) = O(prior) \cdot Bayes factor = 1:99 * 10 = 10:99$

如果将其换算回概率，意味着：经过一次检查后，该病人罹患癌症的概率是$10/109 \approx 0.092$。但赔率变化已经可以提供很好的直觉。

例子3： 如果提高人群患病率（例如：通过更仔细的问诊，将患者限定在一个更为准确的人群中），但不改变检测参数：

$$ O(posterior) = O(prior) \cdot Bayes factor = 1:1 * 10 = 10:1 $$

意味着这位新患者在检测阳性后确实得病的后验概率为$10/11 \approx 0.909$。

来源

• Youtube - “Bayes theorem, the geometry of changing beliefs” (3Blue1Brown)
• Youtube - “The medical test paradox, and redesigning Bayes’ rule” (3Blue1Brown)